【数学】暇だから虚数乗法について語る

#D_iと#I_iは簡単に分かる

まずK/kがGaloisだと、Gal(K/k)の

{P_1, … P_g}

への作用は推移的。つまり、どの2つのP_i, P_jをとってきても、あるσ∈Gal(K/k)が存在してσ(P_i) = P_jになっている

群の作用の性質から、ある元の軌道の濃度は、群の濃度/その元を固定する部分群の濃度になるので

g = #Gal(K/k)/#D_i
∴ #D_i = ef

さらに、D_i → Gal(Κ_i/κ)に準同型定理を使えば

I_i = e

可換環ね知ってる

俺もうお手上げ🤷

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>>19
わざわざVIPでなんカス語使う奴の知能なんてそんなもん

kを体とする
つまり加減乗除のできる集合

有理数の全体Q、実数の全体R、複素数の全体Cは体
整数の全体Zは割り算で閉じてないから体ではない

Kはkを含む体とする
ただし、Kの任意の元xは、k係数の多項式fが存在して

f(X) = 0

を満たすものとする
このとき、Kはkの代数拡大体という
たとえば、Cの任意の元a + b√-1 (a, b∈R)は、

X^2 – 2aX + (a^2 + b^2)

の根になっているから、CはRの代数拡大体

ガロア理論か

modってなに？

> pが(Z/(4))^×で1ならpはKで分解、3ならpはKで惰性

e > 1のときは特殊ケースなので、e = 1のときを考える

このとき、D_i 〜 Gal(Κ_i/κ)なので、D_iは1個の元σで生成される
しかもD_i⊂Gal(K/k)なので、σはGal(K/k)の元でもある

n = fg

で、σの位数はfなので、σの位数が分かれば、O_Kにおけるpの分解の様子が分かる

整数論ってつまらなくね？
物理に利用できない数学はクソの役にもたたない気がするわ

Kはkの元による掛け算をスカラー倍として、自然にkベクトル空間になる
その次元を代数拡大K/kの拡大次数といい、

[K : k]

で表す。たとえば、[C : R] = 2

一般的に

#Aut(K/k) ≦ [K : k]　（#XはXの元の個数）

が成り立つ。等号が成り立つとき、K/kはGalois拡大といい、この場合はAut(K/k)をGal(K/k)と書く
たとえば、C/RはGalois拡大。より一般に、拡大次数が2なら必ずGalois拡大

一方、Kを、Qに2^(1/3)を添加した体とすると、K/QはGalois拡大ではない
[K : Q] = 3だが、Aut(K/Q) = 1だから
Kにさらに、1の3乗根ωを添加してやると、K(ω)/QはGalois拡大になる

まず、Galois拡大における素イデアルの分解の仕方は、Gal(K/k)で統制されることを説明したい

> 体の任意の元aに対して

> a + a + … + a = 0 (n個)

> を満たすn > 0があれば、そのようなnの最小値をpとして、その体は標数pであるといい、なければ標数0であるという

→

1 + 1 + … + 1 = 0 (n個)

を満たすn > 0があれば、そのようなnの最小値をpとして、その体は標数pであるといい、なければ標数0であるという

>>18
こういう推論の方向取り違える奴ってガチなのかネタなのか困る

>>8
ありがとう！

というわけで最初の問題をようやく正確に述べることができる

K⊃k⊃Qを代数拡大
p⊂O_kを素イデアルとしたとき、O_Kのイデアル

pO_K

はどう分解するのか？？

まずはこれを調べるための一般論を述べる

理解したから例題出して

Gal(K/k)の元は、Kの自己同型なわけだが、pO_Kの因子の素イデアルの集合

{P_1, … P_g}

にも作用する。各iに対して

σ(P_i) = P_iとなる

σ∈Gal(K/k)全体は、Gal(K/k)の部分群となる。これを分解群といって、D_iと書く。

さらに、D_iの元はΚ_iの自己同型にもなるが、このうちΚ_i上の恒等写像になる元全体を惰性群といって、I_iと書く。

むむむ

ガウス素数やんな

>>11
大学受験やった？

K⊃k⊃Qを代数拡大（めんどくさくなったので、以降K/kと書く）
p⊂O_kを素イデアルとする

pO_K = P_1^e_1 … P_g^e_g　（P_1, …, P_gはO_Kの素イデアル）

と分解したとする

Κ_i := O_K/P_i
κ := O_k/p

とおく。各Κ_iはκの代数拡大体になっているので、

f_i := [Κ_i : κ]

とおく。n = [K : k]とすると、このとき

n = Σ[i = 1 to g] e_i f_i

が成り立つ。

というわけで、Gal(K/k)やσを知りたいわけだが、これはごく典型的なケースを除けば難しい問題だ

だが、とてもよく分かっている場合がある。その1つはk = Qで、Gal(K/k)がAbel群（演算が可換な群）の場合だ
次の定理が成り立つ

定理

Gal(K/Q)がAbel群なら、

Q(ζ_m)⊃K⊃Q　（ζ_m = exp(2πi/m)）

となるmが存在する。

つまり、QのAbel拡大は円周を等分する点を添加した体に含まれる
このGal(Q(ζ_m)/Q)も実によく分かっていて、

Gal(Q(ζ_m)/Q) 〜 (Z/(m))^×　（Z/(m) の乗法の可逆元全体）

で、しかもk∈(Z/(m))^×に対応するQ(ζ_m)の自己同型σ_kは

σ_k: ζ_m → ζ_m^k

により定まるものだ

なんで全部そうだって言い切れるの？

今さっきは、k = Qの場合を考えたが、別のケースを考える

結論からいうと、kとして虚二次体
つまり、Qに判別式が負となる2次多項式の根を添加した体に関する理論になる
たとえば、k = (√-1)とか、k = Q(ζ_3)とかだ

アイデアとしてはやはり、Kを含むGalois拡大L/kで、Gal(L/k)の元がよく分かるようなものを構成する

>>6
４で割ったら余り1

ここではkは（従ってKも）有理数体Qを含む場合のみ考える

K, kの中の代数的整数の全体をそれぞれO_K, O_kと書いて、K, kの整数環という
たとえば

O_Q = Z

Q(√-1)をQに√-1を添加した体とすると

O_Q(√-1) = Z[√-1]

※ ただし一般的にはO_Q(√D) = Z[√D]ではない

数3まで学校で習ったけどmodなんて先生がチョロっと言っただけで特に何も出なかったな

Aut(K/k)で、Kの自己同型でkの元を固定するもの全体を表す
つまり、

σ∈Aut(K/k)は

σ(a + b) = σ(a) + σ(b)
σ(ab) = σ(a)σ(b)
a∈k ⇒ σ(a) = a

を満たす写像の全体

たとえば、Aut(C/R)は恒等写像と、共役複素数を取る写像の2元からなる

ここでは2つの環を考えている

1つは有理整数環Z

Z = { …, -2, -1, 0, 1, 2, …}

もう1つはZに√-1を添加した環Z[√-1]。これは以下の形

Z[√-1] = { a + b√-1 | a, b∈Z }

p = x^2 + y^2と表されるということは、Z[√-1]内で

p = (x + y√-1)(x – y√-1)

と因数分解するということ。つまり、Zの中で既約だったpが、Z[√-1]の範囲では既約でなくなるということ

この種の問題を考える

>>23
足し算と引き算と掛け算ができる

虚数乗法ってx^(a+bi)のことじゃないの？

一番まずいのは、Zは一意分解環だが、O_kやO_Kはそうとは限らないことだ
つまり、O_KやO_kでは、0以外のすべての元が既約元の積に一意的に表されるとは限らない

一意分解環ではない簡単な例は

Z[√-5] = { a + b√-5| a, b∈Z }

で、この中では6が

6 = 2 * 3 = (1 + √-5)(1 – √-5)

と2通りに因数分解される（2, 3, 1 + √-5, 1 – √-5はいずれも既約）

なんでわざわざid変えてるの？

なんか必殺技っぽくてカッコいいな！

e^πi
みたいな？

ここからが本題

ﾌﾑ…続きは？

fを整数係数の多項式で、最高次の係数が1のものとする

f(x) = 0

を満たす複素数xを、代数的整数という
たとえば、√-1は

f(x) = x^2 + 1

の根だから代数的整数

で、K/kがGalois拡大のときは、

e_1 = e_2 = … = e_g
f_1 = f_2 = … = f_g

となる。だから上の公式は簡単に

n = efg

となる

準素イデアル分解ってのは聞いたことあるけど>>36の定理は
環がもっと良い環になったから素イデアルで言えちゃう的な感じか

ここまで出た言葉を使うと、最初の問題は、こう一般化される

K⊃k⊃Qを代数拡大
p∈O_kを素数

としたとき、pはO_K内で分解するかどうか

これは不正確なので、もう少し言葉を定義する

試しに冒頭のQ(√-1)のケースで計算してみると
このケースでは、k = Q、K = Q(√-1)で、Kが既にQ(ζ_4)なので

pが(Z/(m))^×で1ならpはKで分解、3ならpはKで惰性

と分かる

続きオナシャス

続きオナシャス

Gal(Κ_i/κ)と書いたが、実際これはGalois拡大だ

pが(0)でなければ、Κ_i, κは有限体
有限体は、元の個数が有限個の体
たとえば、pを素数としてZ/(p)は有限体

体の任意の元aに対して

a + a + … + a = 0 (n個)

を満たすn > 0があれば、そのようなnの最小値をpとして、その体は標数pであるといい、なければ標数0であるという
標数は必ず0か素数

有限体の元の個数は、その標数をpとして必ず、q = p^n個
元の個数が同じ有限体はすべて同型なので、q個の元からなる有限体はF_qと書く

で、有限体の代数拡大は完全に判明している

F_qの有限次の代数拡大はF_q^mの形のものだけ。しかも、

Gal(F_q^m/F_q) = {id, σ, …, σ^(m-1)}
σ: F_q^m → F_q^mは、q(x) = x^q

と、Galois群は1つの元で生成される
このσをFrobenius自己準同型という

続けて

4で割ったら余り1なら2で割っても余り1やんけ
結局全ての素数は奇数ってのと言ってるのこと同じじゃん

まず剰余環の定義が必要なので説明する

Rを環、I⊂Rをイデアルとする
a, b∈Rに対して、関係a 〜 bを

a 〜 b :⇔ a – b ∈ I

で定めると、これは同値関係になる。Rをこの同値関係で類別した集合をR/Iと書く。
つまり、a – b∈Iならaとbは同じだと思ったもの。
R/Iは自然に環になる。これを剰余環という

たとえば、

Z/(n) = {nで割ったあまり} = {0, 1, …, n – 1}

O_kを整数環、p⊂O_kを素イデアルとすると、O_k/pは体になる（※ 一般の環では体になるとは限らない）
たとえば、O_k = Zなら、Z/(p)は体になる

イデアル
習った気がするそういえば
言葉だけ覚えてる